Pricing under stochastic volatility: complete solution via decoupled system of Monge–Ampère and Black–Scholes PDEs

We have found, at least from the practical point of view, the complete solution of the option pricing problem for underlying securities obeying stochastic volatility price dynamics. Although partial solutions have existed, and in spite of a considerable attention to it, this problem has been open for about 20 years. The pricing problem is reduced to solving an uncoupled system of a Monge–Ampère type PDE and a Black–Scholes type PDE. Résumé Tarifer sous l’hypothèse de volatilité stochastique : solution complète par l’utilisation d’un système découplé d’EDP de Monge-Ampère et de Black-Scholes. Nous trouvons au moins d’un point de vue pratique, la solution complète au problème de tarification des options sur les titres sous-jacents, dont les prix obéissent à une dynamique de volatilité stochastique. Bien que des solutions partielles existent et aient fait l’objet d’une attention certaine, ce problème est resté ouvert depuis 20 ans. Le problème de la tarification se réduit à résoudre un système découplé d’EDP de type Monge-Ampère et Black Scholes. Version française abrégée Considérons un « marché boursier à volatilité stochastique », consistant d’un titre unique au prix Y+t/ à la date t et vérifiant le système suivant d’équations différentielles stochastiques de type Itô (0.1) ÅY+t/ Y+t/ +Á+t, Y+t/, Ö+t// a1+t, Y+t/, Ö+t/// Å t Y+t/ p+t, Y+t/, Ö+t// ÅB1+t/ ÅÖ+t/ q+t, Y+t/, Ö+t// Å t w+t, Y+t/, Ö+t// ,U+t, Y+t/, Ö+t// ÅB1+t/ r 1 U+t, Y+t/, Ö+t//2 ÅB2+t/0 où B1 et B2 représentent des mouvements browniens indépendants, Á est le taux d’appréciation du titre, a1 est le dividende, p – 0 est la volatilité, et v est un facteur scalaire arbitraire (par exemple, la volatilité : p+t, Y, Ö/ Ö) à direction q , à diffusion w– 0 et où 1 † U † 1 est le coefficient de corrélation entre prix et facteur. Soit également un marché à options constitué d’une option unique sur le titre ci-dessus, de gain fixe X+Y/ à la date de maturité T , et au prix V +t, Y+t/, Ö+t// à la date t T , et où V +t, Y, Ö/ est une fonction inconnue a priori. Soit X ! 0, la richesse. L’utilité associée à la richesse est mesurée par une fonction d’utilité de type HARA : \J+X/ X1 J s +1 J/ pour J ± +0, ˆ/, J œ 1, et \1+X / log+X / . Considérons une stratégie de couverture du portefeuille par autofinancement 3+t, X , Y, Ö/ 31, 32 , où 31 est la valeur monétaire de l’investissement dans l’action et 32 est la valeur de l’investissement dans l’option. Etant donné (0.1), et pour une stratégie fixe 3 , il existe une EDS qui caractérise l’évolution de la richesse X +t/ X+t/ . La stratégie de portefeuille J-optimale (le problème de Merton), notée 3 J Ú 3 J 1, 3 J Ú2 est telle que :